Theorem lcosslsp 42021

Description: Lemma for lspeqlco 42022. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lspeqvlco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lcosslsp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcoellss 42018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)
2	1	3exp 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
3	2	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
4	3	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠))
5		elequ1 1984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑠 ↔ 𝑥 ∈ 𝑠))
6	5	rspcv 3278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
7	6	ad2antlr 759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
8	4, 7	syld 46	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
9	8	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
10		vex 3176	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	elintrab 4423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
12	9, 11	sylibr 223	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
13		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14		elpwi 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
16		lspeqvlco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
19	16, 17, 18	lspval 18796	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
20	13, 15, 19	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
21	12, 20	eleqtrrd 2691	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
22	21	ex 449	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
23	22	ssrdv 3574	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792   LinCo clinco 41988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-linc 41989  df-lco 41990

This theorem is referenced by:  lspeqlco  42022