Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcm0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcm0val 15145
 Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 15144 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcm0val (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . 2 0 ∈ ℤ
2 lcmval 15143 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3 eqid 2610 . . . . 5 0 = 0
43olci 405 . . . 4 (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
54iftruei 4043 . . 3 if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
62, 5syl6eq 2660 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
71, 6mpan2 703 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  ifcif 4036   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  ℕcn 10897  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821   lcm clcm 15139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-neg 10148  df-z 11255  df-lcm 15141 This theorem is referenced by:  dvdslcm  15149  lcmeq0  15151  lcmcl  15152  lcmneg  15154  lcmgcd  15158  lcmdvds  15159  lcmid  15160  lcmftp  15187  lcmfunsnlem2  15191
 Copyright terms: Public domain W3C validator