Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmidm 16909
 Description: Lattice join is idempotent. (inidm 3784 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmidm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmidm.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmidm ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latmidm
StepHypRef Expression
1 latmidm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 simpl 472 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 latmidm.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
51, 4latmcl 16875 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
653anidm23 1377 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
7 simpr 476 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
81, 2, 4latmle1 16899 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
983anidm23 1377 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
101, 2latref 16876 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
111, 2, 4latlem12 16901 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋)))
123, 7, 7, 7, 11syl13anc 1320 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋)))
1310, 10, 12mpbi2and 958 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋))
141, 2, 3, 6, 7, 9, 13latasymd 16880 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  meetcmee 16768  Latclat 16868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869 This theorem is referenced by:  latmmdiN  33539  latmmdir  33540  2llnm3N  33873
 Copyright terms: Public domain W3C validator