Theorem latlem 16872

Description: Lemma for lattice properties. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latlem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlem	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem latlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2 1055	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1056	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		opelxpi 5072	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
7	6	3adant1 1072	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
8		latlem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	1, 2, 8	islat 16870	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))))
10		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
11	9, 10	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
12	11	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
13	7, 12	eleqtrrd 2691	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	joincl 16829	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15		simprr 792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
16	9, 15	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
17	16	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
18	7, 17	eleqtrrd 2691	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
19	1, 8, 3, 4, 5, 18	meetcl 16843	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
20	14, 19	jca 553	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Posetcpo 16763  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869

This theorem is referenced by:  latjcl  16874  latmcl  16875