Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latleeqm1 16902
 Description: Less-than-or-equal-to in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latleeqm1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem latleeqm1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
31, 2latref 16876 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
433adant3 1074 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 𝑋)
54biantrurd 528 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑋𝑋 𝑌)))
6 simp1 1054 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1055 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
9 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
101, 2, 9latlem12 16901 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑋𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 (𝑋 𝑌)))
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1320 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑋𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 (𝑋 𝑌)))
125, 11bitrd 267 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑋 (𝑋 𝑌)))
131, 2, 9latmle1 16899 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
1413biantrurd 528 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌))))
1512, 14bitrd 267 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌))))
16 latpos 16873 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latmcl 16875 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 2posasymb 16775 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
2017, 18, 7, 19syl3anc 1318 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
2115, 20bitrd 267 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  meetcmee 16768  Latclat 16868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869 This theorem is referenced by:  latleeqm2  16903  latnlemlt  16907  latabs2  16911  atnle  33622  2llnmat  33828  llnmlplnN  33843  dalem25  34002  2lnat  34088  lhpm0atN  34333  lhpmatb  34335  cdleme1  34532  cdleme5  34545  cdleme20d  34618  cdleme22e  34650  cdleme22eALTN  34651  cdleme23b  34656  cdleme32e  34751  doca2N  35433  djajN  35444  dihglblem5aN  35599  dihmeetbclemN  35611
 Copyright terms: Public domain W3C validator