Theorem latdisd 17013

Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisd	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ∨ ,𝑦,𝑧   𝑥, ∧ ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		latdisd.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latdisdlem 17012	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
6	5	odulat 16968	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
7	5, 1	odubas 16956	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
8	5, 3	odujoin 16965	. . . . 5 ⊢ ∧ = (join‘(ODual‘𝐾))
9	5, 2	odumeet 16963	. . . . 5 ⊢ ∨ = (meet‘(ODual‘𝐾))
10	7, 8, 9	latdisdlem 17012	. . . 4 ⊢ ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧))))
12	4, 11	impbid 201	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤))))
13		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)))
14		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑣))
15		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
16	14, 15	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
17	13, 16	eqeq12d 2625	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
18		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑤))
19	18	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)))
20		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑣) = (𝑥 ∧ 𝑦))
21	20	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
22	19, 21	eqeq12d 2625	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑣) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤))))
23		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 ∨ 𝑤) = (𝑦 ∨ 𝑧))
24	23	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
25		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
26	25	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
27	24, 26	eqeq12d 2625	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) ↔ (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))
28	17, 22, 27	cbvral3v 3157	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∧ (𝑣 ∨ 𝑤)) = ((𝑢 ∧ 𝑣) ∨ (𝑢 ∧ 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
29	12, 28	syl6bb 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)) = ((𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  ODualcodu 16951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869  df-odu 16952

This theorem is referenced by:  odudlatb  17019