Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kerunit 29154
 Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2 0 = (0g𝑆)
kerunit.3 1 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
kerunit ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
21biimpi 205 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
43simpld 474 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥𝑈)
5 rhmrcl1 18542 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6 kerunit.1 . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2610 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
8 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
106, 7, 8, 9unitlinv 18500 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
1110fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
125, 11sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
134, 12syldan 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
14 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
155adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
176, 7, 16ringinvcl 18499 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1815, 4, 17syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 6unitcl 18482 . . . . . . 7 (𝑥𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
204, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2610 . . . . . . 7 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2216, 8, 21rhmmul 18550 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆)(𝐹𝑥)))
2314, 18, 20, 22syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆)(𝐹𝑥)))
243simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }))
25 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2616, 25rhmf 18549 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
27 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
28 elpreima 6245 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 })))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 })))
3029simplbda 652 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → (𝐹𝑥) ∈ { 0 })
3124, 30syldan 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹𝑥) ∈ { 0 })
32 fvex 6113 . . . . . . . 8 (𝐹𝑥) ∈ V
3332elsn 4140 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
3431, 33sylib 207 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹𝑥) = 0 )
3534oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆)(𝐹𝑥)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆) 0 ))
36 rhmrcl2 18543 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
3736adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
3826adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
3938, 18ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
40 kerunit.2 . . . . . . 7 0 = (0g𝑆)
4125, 21, 40ringrz 18411 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆) 0 ) = 0 )
4237, 39, 41syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆) 0 ) = 0 )
4323, 35, 423eqtrd 2648 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = 0 )
44 kerunit.3 . . . . . 6 1 = (1r𝑆)
459, 44rhm1 18553 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
4645adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
4713, 43, 463eqtr3rd 2653 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
4847reximdva0 3891 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
49 id 22 . . 3 ( 1 = 01 = 0 )
5049rexlimivw 3011 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) 1 = 01 = 0 )
5148, 50syl 17 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  ◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494   RingHom crh 18535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-rnghom 18538 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator