Theorem iunrelexpuztr 37030

Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 13648. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptiunrelexp.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpuztr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 + 𝑖) ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
3		simprlr 799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ 𝑁)
4		simpll2 1094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		simpll3 1095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		simprll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ 𝑁)
8	7, 4	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		eluznn0 11633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10	6, 8, 9	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
11		uzaddcl 11620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	5, 10, 11	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
14	12, 13, 4	3eltr4d 2703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑁)
15		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
18		brcogw 5212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
19	18	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧))
20	15, 16, 17, 19	mp3an 1416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
21		simpll3 1095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
22		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23		simpll2 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
24	22, 23	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25		eluznn0 11633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26	21, 24, 25	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
27		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
28	27, 23	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	21, 28, 9	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30		simpll1 1093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
31		relexpaddss 37029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32	26, 29, 30, 31	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
33		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
34	33	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
35	32, 34	sseqtr4d 3605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
36	35	ssbrd 4626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧 → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
37	20, 36	syl5 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
38	37	impr 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)
39	14, 38	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
40	39	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
41	2, 40	spcimedv 3265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
42	41	exlimdvv 1849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
43		reeanv 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
44		r2ex 3043	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
45	43, 44	bitr3i 265	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
46		df-rex 2902	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
47	42, 45, 46	3imtr4g 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
48	47	alrimiv 1842	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
49	48	alrimiv 1842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
50	49	alrimiv 1842	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
51		cotr 5427	. . . . 5 ⊢ (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧))
52		mptiunrelexp.def	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
53	52	briunov2uz 37009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦))
54		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑖))
55	54	breqd 4594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
56	55	cbvrexv 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦)
57	53, 56	syl6bb 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
58	52	briunov2uz 37009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
59		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑗))
60	59	breqd 4594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
61	60	cbvrexv 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)
62	58, 61	syl6bb 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
63	57, 62	anbi12d 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
64	52	briunov2uz 37009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
65	63, 64	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
66	65	albidv 1836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
67	66	albidv 1836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
68	67	albidv 1836	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
69	51, 68	syl5bb 271	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
70	69	biimprd 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
71	70	3adant3 1074	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
72	50, 71	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  ↑_𝑟crelexp 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-relexp 13609

This theorem is referenced by:  dftrcl3  37031  dfrtrcl3  37044