Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss3 23387
 Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss3.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)
2 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐴
3 nfcsb1v 3515 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
4 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥0
52, 3, 4nfif 4065 . . . . . 6 𝑥if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)
6 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
7 csbeq1a 3508 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7ifbieq1d 4059 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
91, 5, 8cbvmpt 4677 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
12 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶
1312, 3, 7cbvmpt 4677 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
14 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
1514mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
1613, 15eqtr4i 2635 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
1816, 17syl5eqelr 2693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 23340 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2321, 22syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
2523, 24fmptd 6292 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2716feq1i 5949 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2826, 27sylib 207 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
29 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
3029fmpt 6289 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐴 if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ ↔ (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
3128, 30sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → ∀𝑦𝐴 if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
3231r19.21bi 2916 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
3320, 32mbfdm2 23211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
34 undif 4001 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3510, 34sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
38 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
3938ssdifssd 3710 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ ℝ)
40 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
41 nulmbl 23110 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
4239, 40, 41syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
43 unmbl 23112 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4437, 42, 43syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4536, 44eqeltrrd 2689 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
4633, 45syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
47 eldifn 3695 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
4948iffalsed 4047 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 0)
5011, 46, 32, 49, 18iblss2 23378 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
519, 50syl5eqel 2692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
52 iftrue 4042 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
5352mpteq2ia 4668 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
541, 5, 8cbvmpt 4677 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5553, 54eqtr3i 2634 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5610adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
57 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
589, 57syl5eqelr 2693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
59 iblmbf 23340 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
61 0cn 9911 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℂ
62 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
6322, 61, 62sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
64 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
6563, 64fmptd 6292 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
669feq1i 5949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6765, 66sylib 207 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
69 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
7069fmpt 6289 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐵 if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ ↔ (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
7168, 70sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → ∀𝑦𝐵 if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
7271r19.21bi 2916 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
7360, 72mbfdm2 23211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
74 dfss4 3820 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
7510, 74sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
7675adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
77 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
78 difmbl 23118 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7977, 42, 78syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
8076, 79eqeltrrd 2689 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
8173, 80syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
8256, 81, 72, 58iblss 23377 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
8355, 82syl5eqel 2692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
8451, 83impbida 873 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
8575eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐴))
8685biimpa 500 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → 𝑥𝐴)
8786, 52syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
8863, 22, 39, 40, 87itgeqa 23386 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
8988simpld 474 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
9084, 89bitrd 267 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
91 itgss2 23385 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
9210, 91syl 17 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
9388simprd 478 . . 3 (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
9492, 93eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
9590, 94jca 553 1 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⦋csb 3499   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  vol*covol 23038  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198 This theorem is referenced by:  itgioo  23388  itgsplitioo  23410  itgvol0  38860  ibliooicc  38863
 Copyright terms: Public domain W3C validator