Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplitioo 23410
 Description: The ∫ integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsplitioo.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsplitioo.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgsplitioo.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
itgsplitioo.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgsplitioo.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 elicc2 12109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 5mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
76simp2d 1067 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
86simp1d 1066 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
92, 8leloed 10059 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
107, 9mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
1110ord 391 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
122rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
13 iooss1 12081 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1412, 7, 13syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1514sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1715, 16syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
1917, 18itgcl 23356 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
2019addid2d 10116 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2120eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
22 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
23 itgeq1 23345 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
25 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
26 iooid 12074 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐵) = ∅
2725, 26syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
28 itgeq1 23345 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
30 itg0 23352 . . . . . . 7 ∫∅𝐷 d𝑥 = 0
3129, 30syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = 0)
3231oveq1d 6564 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
3324, 32eqeq12d 2625 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) ↔ ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3421, 33syl5ibrcom 236 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3511, 34syld 46 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
366simp3d 1068 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
378, 3leloed 10059 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3836, 37mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
3938ord 391 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
403rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
41 iooss2 12082 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4240, 36, 41syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4342sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
4443, 16syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
4644, 45itgcl 23356 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
4746addid1d 10115 . . . . 5 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4847eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0))
49 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶))
50 itgeq1 23345 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
52 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐶))
5326, 52syl5eqr 2658 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ∅ = (𝐵(,)𝐶))
54 itgeq1 23345 . . . . . . . 8 (∅ = (𝐵(,)𝐶) → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5630, 55syl5eqr 2658 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → 0 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5756oveq2d 6565 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
5851, 57eqeq12d 2625 . . . 4 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) ↔ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
5948, 58syl5ibcom 234 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
6039, 59syld 46 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
61 indir 3834 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)))
628rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6312, 62jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6562, 40jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
678adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867leidd 10473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
69 ioodisj 12173 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7064, 66, 68, 69syl21anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
71 incom 3767 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵})
7267ltnrd 10050 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
73 eliooord 12104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐵𝐵 < 𝐶))
7473simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐵 < 𝐵)
7572, 74nsyl 134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
76 disjsn 4192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7775, 76sylibr 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅)
7871, 77syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7970, 78uneq12d 3730 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (∅ ∪ ∅))
80 un0 3919 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ ∅) = ∅
8179, 80syl6eq 2660 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = ∅)
8261, 81syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
8382fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (vol*‘∅))
84 ovol0 23068 . . . . . 6 (vol*‘∅) = 0
8583, 84syl6eq 2660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = 0)
8612, 62, 403jca 1235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
87 ioojoin 12174 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8886, 87sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8988eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐶) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)))
9016adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
9145adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
92 ssun1 3738 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})
9392a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
94 ioossre 12106 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9667snssd 4281 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
9795, 96unssd 3751 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
98 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9998difeq1i 3686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵))
100 difun2 4000 . . . . . . . . . . . 12 (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
10199, 100eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
102 difss 3699 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
103101, 102eqsstri 3598 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵})
105 ovolsn 23070 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
10667, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘{𝐵}) = 0)
107 ovolssnul 23062 . . . . . . . . 9 (((((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐵}) = 0) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
108104, 96, 106, 107syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
109 ssun1 3738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶))
110109, 88syl5sseq 3616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
111110sselda 3568 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
112111, 90syldan 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
11393, 97, 108, 112itgss3 23387 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥))
114113simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1))
11591, 114mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11618adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 23408 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
118113simprd 478 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥)
119118oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
120117, 119eqtr4d 2647 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
121120ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
12235, 60, 121ecased 982 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  23430  ftc1lem1  23602  ftc1anc  32663  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122
 Copyright terms: Public domain W3C validator