Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgspliticc 23409
 Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷𝑉)
itgspliticc.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgspliticc (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 elicc2 12109 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 4, 5syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
73, 6mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
87simp1d 1066 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
104rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 df-icc 12053 . . . . . . 7 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
12 xrmaxle 11888 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴𝑧𝐵𝑧)))
13 xrlemin 11889 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧𝐵𝑧𝐶)))
1411, 12, 13ixxin 12063 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 1319 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
167simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1716iftrued 4044 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
187simp3d 1068 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1918iftrued 4044 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
2017, 19oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21 iccid 12091 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
229, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2315, 20, 223eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
2423fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25 ovolsn 23070 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
268, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
2724, 26eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28 iccsplit 12176 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
291, 4, 3, 28syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30 itgspliticc.4 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷𝑉)
31 itgspliticc.5 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32 itgspliticc.6 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
3327, 29, 30, 31, 32itgsplit 23408 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198 This theorem is referenced by:  itgspltprt  38871  fourierdlem107  39106
 Copyright terms: Public domain W3C validator