Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem1 36690
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7890 . . 3 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2 bren 7850 . . 3 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
31, 2bitri 263 . 2 (𝐶𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
4 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) = (𝑓s 𝑅))
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7 f1ofo 6057 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑓:𝐵onto𝐶)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵onto𝐶)
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
104, 6, 8, 9imasbas 15995 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓s 𝑅)))
11 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
12 ablgrp 18021 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
144, 6, 11, 13imasgim 36688 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)))
15 brgici 17535 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)) → 𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅))
16 gicabl 36687 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
189, 17mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) ∈ Abel)
19 basfn 36689 . . . . . . . 8 Base Fn V
20 ssv 3588 . . . . . . . 8 Abel ⊆ V
21 fnfvima 6400 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2219, 20, 21mp3an12 1406 . . . . . . 7 ((𝑓s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2410, 23eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
2524ex 449 . . . 4 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2625exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2726impcom 445 . 2 ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
283, 27sylan2b 491 1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cima 5041   Fn wfn 5799  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cen 7838  Basecbs 15695  s cimas 15987  Grpcgrp 17245   GrpIso cgim 17522  𝑔 cgic 17523  Abelcabl 18017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-imas 15991  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-gic 17525  df-cmn 18018  df-abl 18019
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  36694
  Copyright terms: Public domain W3C validator