Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismred2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismred2 16086
 Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismred2.ss (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ismred2 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2
StepHypRef Expression
1 ismred2.ss . 2 (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 eqid 2610 . . . 4 ∅ = ∅
3 rint0 4452 . . . 4 (∅ = ∅ → (𝑋 ∅) = 𝑋)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑋 ∅) = 𝑋
5 0ss 3924 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐶
6 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
7 sseq1 3589 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝑠𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
87anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑠 = ∅ → ((𝜑𝑠𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9 inteq 4413 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → 𝑠 = ∅)
109ineq2d 3776 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝑋 𝑠) = (𝑋 ∅))
1110eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑠 = ∅ → ((𝑋 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∅) ∈ 𝐶))
128, 11imbi12d 333 . . . . 5 (𝑠 = ∅ → (((𝜑𝑠𝐶) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∅) ∈ 𝐶)))
13 ismred2.in . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶)
146, 12, 13vtocl 3232 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∅) ∈ 𝐶)
155, 14mpan2 703 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∅) ∈ 𝐶)
164, 15syl5eqelr 2693 . 2 (𝜑𝑋𝐶)
17 simp2 1055 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
1813ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
1917, 18sstrd 3578 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20 simp3 1056 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21 rintn0 4552 . . . 4 ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 𝑠) = 𝑠)
2219, 20, 21syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 𝑠) = 𝑠)
23133adant3 1074 . . 3 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶)
2422, 23eqeltrrd 2689 . 2 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
251, 16, 24ismred 16085 1 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  Moorecmre 16065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-mre 16069 This theorem is referenced by:  isacs1i  16141  mreacs  16142
 Copyright terms: Public domain W3C validator