Theorem ismbf 23203

Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 23101. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbf	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 23201	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 5964	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	syl5ib 233	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		ioomax 12119	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
6		ioorebas 12146	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
7	5, 6	eqeltrri 2685	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
8		imaeq2 5381	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ℝ))
9	8	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
10	9	rspcv 3278	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12		fimacnv 6255	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
14	11, 13	syl5ib 233	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	rered 13812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
18	17	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
19	16	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20		simpl 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
21	20	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
22		ref 13700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
24	23	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
25		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
26	19, 21, 24, 25	fmptco 6303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
27	18, 26, 21	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
28	27	cnveqd 5220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡𝐹 = ◡(ℜ ∘ 𝐹))
29	28	imaeq1d 5384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
30	29	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31		imf 13701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
33	32	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
34		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
35	19, 21, 33, 34	fmptco 6303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
36	16	reim0d 13813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
37	36	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
38	35, 37	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
39		fconstmpt 5085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
40	38, 39	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
41	40	cnveqd 5220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡(ℑ ∘ 𝐹) = ◡(𝐴 × {0}))
42	41	imaeq1d 5384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥))
43		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
44		0re 9919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
45		mbfconstlem 23202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
46	43, 44, 45	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
47	42, 46	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
48	47	biantrud 527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
49	30, 48	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
50	49	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51		ax-resscn 9872	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
52		fss 5969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
53	51, 52	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54		mblss 23106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
55		cnex 9896	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
56		reex 9906	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
57		elpm2r 7761	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
58	55, 56, 57	mpanl12 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
59	53, 54, 58	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	59	biantrurd 528	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
61	50, 60	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62		ismbf1 23199	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
63	61, 62	syl6rbbr 278	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
64	63	ex 449	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
65	4, 14, 64	pm5.21ndd 368	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  (,)cioo 12046  ℜcre 13685  ℑcim 13686  volcvol 23039  MblFncmbf 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194

This theorem is referenced by:  ismbfcn  23204  mbfima  23205  mbfid  23209  ismbfd  23213  mbfeqalem  23215  mbfres2  23218  mbfimaopnlem  23228  i1fd  23254  elmbfmvol2  29656  cnambfre  32628  mbf0  38849