Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islvol3 33880
 Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol3.l = (le‘𝐾)
islvol3.j = (join‘𝐾)
islvol3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol3.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islvol3.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islvol3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑦𝑃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ,𝑝   𝑃,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   (𝑦,𝑝)   (𝑦)   𝑉(𝑦,𝑝)

Proof of Theorem islvol3
StepHypRef Expression
1 islvol3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 islvol3.p . . 3 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4 islvol3.v . . 3 𝑉 = (LVols‘𝐾)
51, 2, 3, 4islvol4 33878 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑦𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6 simpll 786 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
71, 3lplnbase 33838 . . . . . 6 (𝑦𝑃𝑦𝐵)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑦𝐵)
9 simplr 788 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑋𝐵)
10 islvol3.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 islvol3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
12 islvol3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 33717 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵𝑋𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋)))
146, 8, 9, 13syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋)))
15 eqcom 2617 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑝) = 𝑋𝑋 = (𝑦 𝑝))
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑦 𝑝) = 𝑋𝑋 = (𝑦 𝑝)))
1716anbi2d 736 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
1817rexbidva 3031 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
1914, 18bitrd 267 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
2019rexbidva 3031 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑦𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦𝑃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
215, 20bitrd 267 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑦𝑃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LPlanesclpl 33796  LVolsclvol 33797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lplanes 33803  df-lvols 33804 This theorem is referenced by:  lvoli3  33881  islvol5  33883
 Copyright terms: Public domain W3C validator