Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2a 33821
 Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln2a.j = (join‘𝐾)
islln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))

Proof of Theorem islln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2 islln2a.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3 islln2a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjidm 33673 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
543adant2 1073 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
61, 5sylan9eqr 2666 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
7 islln2a.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LLines‘𝐾)
83, 7llnneat 33818 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝑁) → ¬ 𝑄𝐴)
98adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑄𝑁) → ¬ 𝑄𝐴)
109ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑄𝑁 → ¬ 𝑄𝐴))
1110con2d 128 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑄𝐴 → ¬ 𝑄𝑁))
12113impia 1253 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑄𝑁)
1312adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄𝑁)
146, 13eqneltrd 2707 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
1514ex 449 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁))
1615necon2ad 2797 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))
172, 3, 7llni2 33816 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
1817ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁))
1916, 18impbid 201 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802 This theorem is referenced by:  cdleme16d  34586
 Copyright terms: Public domain W3C validator