Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline3 34080
 Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j = (join‘𝐾)
isline3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isline3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline3
StepHypRef Expression
1 hllat 33668 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 isline3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 isline3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 isline3.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6 isline3.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
73, 4, 5, 6isline2 34078 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
82, 7syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
9 simpll 786 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr 788 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑋𝐵)
111ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 isline3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 4atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1413ad2antrl 760 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑝𝐵)
1512, 4atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
1615ad2antll 761 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑞𝐵)
1712, 3latjcl 16874 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1811, 14, 16, 17syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1912, 6pmap11 34066 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
209, 10, 18, 19syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
2120anbi2d 736 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
22212rexbidva 3038 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
238, 22bitrd 267 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  Linesclines 33798  pmapcpmap 33801 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lines 33805  df-pmap 33808 This theorem is referenced by:  isline4N  34081  lneq2at  34082  lnatexN  34083  lncvrat  34086  lncmp  34087
 Copyright terms: Public domain W3C validator