Theorem islbs3 18976

Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs3	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 18898	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 18900	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 18927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10		pssss 3664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
11	10, 3	sylan9ssr 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
12	11	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
13	1, 5	lspssv 18804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
14	9, 12, 13	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
15		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16	15	lvecdrng 18926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
19	17, 18	drngunz 18585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	8, 20	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22	2, 5, 15, 18, 17, 1	lbspss 18903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
23	21, 22	syl3an1 1351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
24		df-pss 3556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉))
25	14, 23, 24	sylanbrc 695	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)
26	25	3expia 1259	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
27	26	alrimiv 1842	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
28	4, 7, 27	3jca 1235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)))
29		simpr1 1060	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
30		simpr2 1061	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
31		simplr1 1096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
32	31	ssdifssd 3710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
33		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
34	1, 33	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
35		ssexg 4732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36	32, 34, 35	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		simplr3 1098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
38		difssd 3700	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
39		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
40		neldifsn 4262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
41		nelne1 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
42	39, 40, 41	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
43	42	necomd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
44		df-pss 3556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
45	38, 43, 44	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
46		psseq1 3656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
47		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁‘𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
48	47	psseq1d 3661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
49	46, 48	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
50	49	spcgv 3266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
51	36, 37, 45, 50	syl3c 64	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
52		dfpss3 3655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
53	52	simprbi 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54	51, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
55		simplr2 1097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
56	8	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
57	32	adantrr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
58		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
59	1, 58, 5	lspcl 18797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60	56, 57, 59	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
61		ssun1 3738	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
62		undif1 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
63	61, 62	sseqtr4i 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
64	1, 5	lspssid 18806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65	56, 57, 64	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
66		simprr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
67	66	snssd 4281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
68	65, 67	unssd 3751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
69	63, 68	syl5ss 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
70	58, 5	lspssp 18809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
71	56, 60, 69, 70	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
72	55, 71	eqsstr3d 3603	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
73	72	expr 641	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
74	54, 73	mtod 188	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
75	74	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
76	1, 2, 5	islbs2 18975	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
77	76	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
78	29, 30, 75, 77	mpbir3and 1238	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
79	28, 78	impbida 873	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  0_gc0g 15923  1_rcur 18324  DivRingcdr 18570  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LBasisclbs 18895  LVecclvec 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lbs 18896  df-lvec 18924

This theorem is referenced by:  obslbs  19893