Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iskgen2 21161
 Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iskgen2 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Proof of Theorem iskgen2
StepHypRef Expression
1 kgentop 21155 . . 3 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
2 kgenidm 21160 . . . 4 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
3 eqimss 3620 . . . 4 ((𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽 → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
51, 4jca 553 . 2 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
6 simpr 476 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
7 kgenss 21156 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
87adantr 480 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
96, 8eqssd 3585 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
10 kgenf 21154 . . . . . 6 𝑘Gen:Top⟶Top
11 ffn 5958 . . . . . 6 (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 𝑘Gen Fn Top
13 fnfvelrn 6264 . . . . 5 ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
1412, 13mpan 702 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
1514adantr 480 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
169, 15eqeltrrd 2689 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
175, 16impbii 198 1 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Topctop 20517  𝑘Genckgen 21146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-kgen 21147 This theorem is referenced by:  iskgen3  21162  llycmpkgen2  21163  1stckgen  21167  txkgen  21265  qtopkgen  21323
 Copyright terms: Public domain W3C validator