MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinv 16243
Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
invfval.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isinv (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 invfval.s . . . . 5 𝑆 = (Sect‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6invfval 16242 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋)))
87breqd 4594 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9 brin 4634 . . 3 (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
108, 9syl6bb 275 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11 eqid 2610 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12 eqid 2610 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13 eqid 2610 . . . . . 6 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
141, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4sectss 16235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15 relxp 5150 . . . . 5 Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16 relss 5129 . . . . 5 ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . . . 4 (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18 relbrcnvg 5423 . . . 4 (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
2019anbi2d 736 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
2110, 20bitrd 267 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ccnv 5037  Rel wrel 5043  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Hom chom 15779  compcco 15780  Catccat 16148  Idccid 16149  Sectcsect 16227  Invcinv 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-sect 16230  df-inv 16231
This theorem is referenced by:  invsym  16245  invfun  16247  invco  16254  inveq  16257  monsect  16266  invid  16270  invcoisoid  16275  isocoinvid  16276  cicref  16284  funcinv  16356  fthinv  16409  fucinv  16456  invfuc  16457  2initoinv  16483  2termoinv  16490  setcinv  16563  catcisolem  16579  catciso  16580  rngcinv  41773  rngcinvALTV  41785  ringcinv  41824  ringcinvALTV  41848
  Copyright terms: Public domain W3C validator