MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas2 21449
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 21443 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2 elin 3758 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)))
3 selpw 4115 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
43anbi2i 726 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
52, 4bitri 263 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
65exbii 1764 . . . . . 6 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
7 n0 3890 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8 df-rex 2902 . . . . . 6 (∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
96, 7, 83bitr4i 291 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
1092ralbii 2964 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
11103anbi3i 1248 . . 3 ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211anbi2i 726 . 2 ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))))
131, 12syl6bb 275 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wnel 2781  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108  cfv 5804  fBascfbas 19555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-fbas 19564
This theorem is referenced by:  fbasssin  21450  fbun  21454  opnfbas  21456  isfil2  21470  fsubbas  21481  fbasrn  21498  rnelfmlem  21566  metustfbas  22172  tailfb  31542
  Copyright terms: Public domain W3C validator