Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscygodd 18113
 Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscygodd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscygodd.o 𝑂 = (od‘𝐺)
iscygodd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
iscygodd.4 (𝜑𝑋𝐵)
iscygodd.5 (𝜑 → (𝑂𝑋) = (#‘𝐵))
Assertion
Ref Expression
iscygodd (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem iscygodd
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygodd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 iscygodd.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 iscygodd.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑋) = (#‘𝐵))
4 iscygodd.1 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 iscygodd.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
64, 5odcl 17778 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑂𝑋) ∈ ℕ0)
72, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ ℕ0)
83, 7eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
9 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
104, 9eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
11 hashclb 13011 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
138, 12sylibr 223 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
14 eqid 2610 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
15 eqid 2610 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}
164, 14, 15, 5cyggenod 18109 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (#‘𝐵))))
171, 13, 16syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (#‘𝐵))))
182, 3, 17mpbir2and 959 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
19 ne0i 3880 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
214, 14, 15iscyg2 18107 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
221, 20, 21sylanbrc 695 1 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  odcod 17767  CycGrpccyg 18102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-od 17771  df-cyg 18103 This theorem is referenced by:  prmcyg  18118  lt6abl  18119
 Copyright terms: Public domain W3C validator