Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscauf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscauf 22886
 Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscau4.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iscau4.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
iscauf.7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
iscauf (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 elfvdm 6130 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 9896 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4jctir 559 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 iscauf.7 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
7 iscau3.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 uzssz 11583 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
9 zsscn 11262 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3577 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
117, 10eqsstri 3598 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℂ
126, 11jctir 559 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
13 elpm2r 7761 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
145, 12, 13syl2anc 691 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 528 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
161adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
1817adantrr 749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
196adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
20 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑍)
2119, 20ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2218, 21eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵𝑋)
237uztrn2 11581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2523, 24sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
26 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
276, 23, 26syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2825, 27eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴𝑋)
29 xmetsym 21962 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3016, 22, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3130breq1d 4593 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
32 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
3332eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
3433biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
356, 23, 34syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3635, 28jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋))
3736biantrurd 528 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
38 df-3an 1033 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
3937, 38syl6bbr 277 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4031, 39bitrd 267 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4140anassrs 678 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4241ralbidva 2968 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4342rexbidva 3031 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4443ralbidv 2969 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
45 iscau3.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
467, 1, 45, 24, 17iscau4 22885 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
4715, 44, 463bitr4rd 300 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813   < clt 9953  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ∞Metcxmt 19552  Caucca 22859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562  df-cau 22862 This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  22897  causs  22904  caubl  22914  minvecolem3  27116  h2hcau  27220  geomcau  32725  caushft  32727  rrncmslem  32801
 Copyright terms: Public domain W3C validator