Theorem isbnd3b 32754

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3b	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isbnd3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd3 32753	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
2		metf 21945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
4		ffn 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
5		ffnov 6662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
6	5	baib 942	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
8		0red 9920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
9		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		metcl 21947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11	10	3expb 1258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
13		metge0 21960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
14	13	3expb 1258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
15	14	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
16		elicc2 12109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
17		df-3an 1033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
18	16, 17	syl6bb 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
19	18	baibd 946	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
20	8, 9, 12, 15, 19	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
21	20	2ralbidva 2971	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
22	7, 21	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
23	22	rexbidva 3031	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
24	23	pm5.32i 667	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
25	1, 24	bitri 263	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  Metcme 19553  Bndcbnd 32736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-bnd 32748

This theorem is referenced by:  equivbnd  32759  iccbnd  32809