Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchiofld 29148
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l < = (lt‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchiofld (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 29133 . . . 4 (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
21simprbi 479 . . 3 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3 orngogrp 29132 . . 3 (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4 isarchiofld.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 isarchiofld.l . . . 4 < = (lt‘𝑊)
7 eqid 2610 . . . 4 (.g𝑊) = (.g𝑊)
84, 5, 6, 7isarchi3 29072 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
92, 3, 83syl 18 . 2 (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
10 orngring 29131 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝑊) = (1r𝑊)
124, 11ringidcl 18391 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oField → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
14 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1r𝑊) → ((0g𝑊) < 𝑦 ↔ (0g𝑊) < (1r𝑊)))
15 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1r𝑊) → (𝑛(.g𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
1615breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1r𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
1716rexbidv 3034 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1r𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
1814, 17imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1r𝑊) → (((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
1918ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑦 = (1r𝑊) → (∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
2019rspcv 3278 . . . . . 6 ((1r𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
225, 11, 6ofldlt1 29144 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oField → (0g𝑊) < (1r𝑊))
23 pm5.5 350 . . . . . . 7 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → (((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oField → (((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2524ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2621, 25sylibd 228 . . . 4 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28 nnz 11276 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
3029, 7, 11zrhmulg 19677 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
3127, 28, 30syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
3231breq2d 4595 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3332rexbidva 3031 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3433ralbidv 2969 . . . 4 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3526, 34sylibrd 248 . . 3 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
36 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑥 𝑊 ∈ oField
37 nfra1 2925 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)
3836, 37nfan 1816 . . . . . . 7 𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛))
39 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐵
4038, 39nfan 1816 . . . . . 6 𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵)
4127ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42 simplrr 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑥𝐵)
43 simplrl 796 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦𝐵)
44 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) < 𝑦)
45 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46 ringgrp 18375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
474, 5grpidcl 17273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Grp → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
496pltne 16785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g𝑊) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
5045, 48, 43, 49syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) ≠ 𝑦)
5251necomd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
531simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54 isfld 18579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
5554simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
584, 57, 5drngunit 18575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
6043, 52, 59mpbir2and 959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (/r𝑊) = (/r𝑊)
624, 57, 61dvrcl 18509 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
6341, 42, 60, 62syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛))
65 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻𝑛)))
6665rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛)))
6766cbvralv 3147 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
6864, 67sylib 207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
6968ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
70 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥(/r𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻𝑛) ↔ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7170rexbidv 3034 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥(/r𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7271rspcv 3278 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7363, 69, 72sylc 63 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛))
74 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑊) = (.r𝑊)
75 simp-4l 802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
7978simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑥𝐵)
8078simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦𝐵)
81 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) < 𝑦)
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
8375, 82, 80, 49syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) ≠ 𝑦)
8584necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
8780, 85, 86mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
8877, 79, 87, 62syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9075, 89, 31syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
944, 7mulgcl 17382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)) ∈ 𝐵)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)) ∈ 𝐵)
9690, 95eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ 𝐵)
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛))
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 29139 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) < ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦))
1004, 57, 61, 74dvrcan1 18514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) = 𝑥)
10177, 79, 87, 100syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) = 𝑥)
10290oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦))
1034, 7, 74mulgass2 18424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r𝑊) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)))
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)))
1054, 74, 11ringlidm 18394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦) = 𝑦)
10677, 80, 105syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦) = 𝑦)
107106oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g𝑊)𝑦))
108102, 104, 1073eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)𝑦))
10999, 101, 1083brtr3d 4614 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))
110109ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
111110reximdva 3000 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
112111adantllr 751 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))
114113ex 449 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
115114expr 641 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵 → ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
11640, 115ralrimi 2940 . . . . 5 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
117116ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
118117ex 449 . . 3 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) → ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
11935, 118impbid 201 . 2 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
1209, 119bitrd 267 1 (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cn 10897  cz 11254  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  ltcplt 16764  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462  /rcdvr 18505  DivRingcdr 18570  Fieldcfield 18571  ℤRHomczrh 19667  oGrpcogrp 29029  Archicarchi 29062  oRingcorng 29126  oFieldcofld 29127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-omnd 29030  df-ogrp 29031  df-inftm 29063  df-archi 29064  df-orng 29128  df-ofld 29129
This theorem is referenced by:  rearchi  29173
  Copyright terms: Public domain W3C validator