Theorem ipcnval 13731

Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ipcnval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Proof of Theorem ipcnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 13693	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
2		remul 13717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
3	1, 2	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
4		recj 13712	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
7		imcj 13720	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
9	8	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)))
10		imcl 13699	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		imcl 13699	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 10346	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
16	9, 15	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
17	6, 16	oveq12d 6567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
18		recl 13698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		recl 13698	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
22		mulcl 9899	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24		mulcl 9899	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	11, 13, 24	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
26	23, 25	subnegd 10278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
27	3, 17, 26	3eqtrd 2648	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  ∗ccj 13684  ℜcre 13685  ℑcim 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689

This theorem is referenced by:  cjmulval  13733  ipcni  13778  ipcnd  13810