MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem5 27074
Description: Lemma for ipassi 27080. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem5 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11666 . . 3 (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2 zcn 11259 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3 nnrecre 10934 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
43recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
65phnvi 27055 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
7 ipasslem1.b . . . . . . . . . 10 𝐵𝑋
8 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 ip1i.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
108, 9dipcl 26951 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
116, 7, 10mp3an13 1407 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12 mulass 9903 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
132, 4, 11, 12syl3an 1360 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
142adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15 nncn 10905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
1914, 16, 18divrecd 10683 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20193adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
2120oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
2220oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋𝐴𝑋)
24 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
258, 24nvsass 26867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
266, 25mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
272, 4, 23, 26syl3an 1360 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2822, 27eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2928oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
308, 24nvscl 26865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
316, 30mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
324, 31sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33 ip1i.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
348, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem3 27072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3532, 34sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36353impb 1252 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
378, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem4 27073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38373adant1 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
3938oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4029, 36, 393eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4113, 21, 403eqtr4rd 2655 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
4342oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
4543, 44eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4641, 45syl5ibrcom 236 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47463expia 1259 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4847com23 84 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4948rexlimivv 3018 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
501, 49sylbi 206 . 2 (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5150imp 444 1 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  cn 10897  cz 11254  cq 11664  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  ·𝑖OLDcdip 26939  CPreHilOLDccphlo 27051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-dip 26940  df-ph 27052
This theorem is referenced by:  ipasslem8  27076
  Copyright terms: Public domain W3C validator