MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossico 12133
Description: An open interval is a subset of its closure-below. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossico (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)

Proof of Theorem ioossico
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12050 . 2 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 df-ico 12052 . 2 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥 < 𝑏)})
3 xrltle 11858 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
4 idd 24 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12060 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  (,)cioo 12046  [,)cico 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-ico 12052
This theorem is referenced by:  elicoelioo  28930  esumdivc  29472  omssubadd  29689  icomnfinre  38626  limcresioolb  38710  icocncflimc  38775  fourierdlem41  39041  fourierdlem46  39045  fouriersw  39124  ovolval5lem3  39544  ioosshoi  39560  vonioolem2  39572  amgmwlem  42357
  Copyright terms: Public domain W3C validator