Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopn 39201
 Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopn.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopn (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 4779 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4242 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 7805 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 7822 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘∅))
98fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
10 rrxtopn0b 39192 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
129, 11eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
137, 12eleq12d 2682 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
143, 13mpbird 246 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1514adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
16 neqne 2790 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
18 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
19 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
2018, 19oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2120cbvixpv 7812 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2221eleq2i 2680 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322biimpi 205 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
25 ioorrnopn.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2625ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
2722, 26sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
28 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
2922, 28sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
30 ioorrnopn.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3130ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3222, 31sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
33 ioorrnopn.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
3433ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
3522, 34sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
36 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3722, 36sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
38 eqid 2610 . . . . . . 7 ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
39 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
40 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
4139, 40oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) = ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)))
42 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
4340, 42oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))
4441, 43breq12d 4596 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4544, 41, 43ifbieq12d 4063 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗))) = if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4645cbvmptv 4678 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4746rneqi 5273 . . . . . . . 8 ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))) = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4847infeq1i 8267 . . . . . . 7 inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))), ℝ, < )
49 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < ))
50 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑔 → (𝑎𝑘) = (𝑔𝑘))
5150oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘)) = ((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘)))
5251oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))
5352sumeq2ad 38632 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))
5453fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)))
55 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = → (𝑏𝑘) = (𝑘))
5655oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = → ((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘)) = ((𝑔𝑘) − (𝑘)))
5756oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = → (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2))
5857sumeq2ad 38632 . . . . . . . . 9 (𝑏 = → Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2))
5958fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑏 = → (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2)))
6054, 59cbvmpt2v 6633 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2)))
6127, 29, 32, 35, 37, 38, 48, 49, 60ioorrnopnlem 39200 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
6224, 61syldan 486 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
6362ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
64 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
6564rrxtop 39185 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
6625, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
6766adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
68 eltop2 20590 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
6967, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
7063, 69mpbird 246 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
7117, 70syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
7215, 71pm2.61dan 828 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  infcinf 8230  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  (,)cioo 12046  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  Σcsu 14264  TopOpenctopn 15905  ballcbl 19554  Topctop 20517  ℝ^crrx 22979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-phl 19790  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776  df-tch 22777  df-rrx 22981 This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  39202
 Copyright terms: Public domain W3C validator