Theorem ioorrnopn 39201

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopn	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4779	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	prid2 4242	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4		ixpeq1 7805	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
5		ixp0x 7822	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
7	4, 6	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
8		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘∅))
9	8	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
10		rrxtopn0b 39192	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
12	9, 11	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
13	7, 12	eleq12d 2682	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
14	3, 13	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
16		neqne 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
18		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
19		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
20	18, 19	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
21	20	cbvixpv 7812	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))
22	21	eleq2i 2680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
23	22	biimpi 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
25		ioorrnopn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
26	25	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
27	22, 26	sylan2br 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
28		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
29	22, 28	sylan2br 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
30		ioorrnopn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
31	30	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
32	22, 31	sylan2br 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
33		ioorrnopn.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
34	33	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
35	22, 34	sylan2br 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
36		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
37	22, 36	sylan2br 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
38		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
39		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
40		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑖))
41	39, 40	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)))
42		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
43	40, 42	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
44	41, 43	breq12d 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
45	44, 41, 43	ifbieq12d 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
46	45	cbvmptv 4678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
47	46	rneqi 5273	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
48	47	infeq1i 8267	. . . . . . 7 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))), ℝ, < )
49		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ))
50		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
51	50	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)))
52	51	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
53	52	sumeq2ad 38632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
54	53	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)))
55		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏‘𝑘) = (ℎ‘𝑘))
56	55	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘)))
57	56	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
58	57	sumeq2ad 38632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ℎ → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
59	58	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ℎ → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
60	54, 59	cbvmpt2v 6633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ℎ ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
61	27, 29, 32, 35, 37, 38, 48, 49, 60	ioorrnopnlem 39200	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
62	24, 61	syldan 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
63	62	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
64		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
65	64	rrxtop 39185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
66	25, 65	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
67	66	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
68		eltop2 20590	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
69	67, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
70	63, 69	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
71	17, 70	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
72	15, 71	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑_𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  infcinf 8230  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  (,)cioo 12046  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  Σcsu 14264  TopOpenctopn 15905  ballcbl 19554  Topctop 20517  ℝ^crrx 22979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-phl 19790  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776  df-tch 22777  df-rrx 22981

This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  39202