Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorf 23147
 Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorf 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2 ioof 12142 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 5958 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4 ovelrn 6708 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
52, 3, 4mp2b 10 . . 3 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6 0le0 10987 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
7 df-br 4584 . . . . . . . . 9 (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
86, 7mpbi 219 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9 0xr 9965 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
10 opelxpi 5072 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
119, 9, 10mp2an 704 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12 elin 3758 . . . . . . . 8 (⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)) ↔ (⟨0, 0⟩ ∈ ≤ ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)))
138, 11, 12mpbir2an 957 . . . . . . 7 ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
1413a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
15 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
1615infeq1d 8266 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
17 simplll 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
18 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
2019neqned 2789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
2115, 20eqnetrrd 2850 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
22 df-ioo 12050 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
23 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤 < 𝑏))
24 xrltle 11858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤𝑏))
25 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎 < 𝑤))
26 xrltle 11858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎𝑤))
2722, 23, 24, 25, 26ixxlb 12068 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2817, 18, 21, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2916, 28eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
3015supeq1d 8235 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
3122, 23, 24, 25, 26ixxub 12067 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3217, 18, 21, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3330, 32eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
3429, 33opeq12d 4348 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
35 ioon0 12072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3635ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3721, 36mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
38 xrltle 11858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
3938ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎𝑏)
41 df-br 4584 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
4240, 41sylib 207 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
43 opelxpi 5072 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4443ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4542, 44elind 3760 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4634, 45eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4714, 46ifclda 4070 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4847ex 449 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
4948rexlimivv 3018 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
505, 49sylbi 206 . 2 (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
511, 50fmpti 6291 1 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  supcsup 8229  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050 This theorem is referenced by:  ioorcl  23151  uniioombllem2  23157
 Copyright terms: Public domain W3C validator