Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooinlbub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooinlbub 38570
 Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooinlbub ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjr 3970 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 elpri 4145 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
3 lbioo 12077 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
53, 4mtbiri 316 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6 ubioo 12078 . . . . 5 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
86, 7mtbiri 316 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95, 8jaoi 393 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
111, 10mprgbir 2911 1 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  (class class class)co 6549  (,)cioo 12046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-ioo 12050 This theorem is referenced by:  iccdifioo  38588  iccdifprioo  38589
 Copyright terms: Public domain W3C validator