Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodvbdlimc1 38823
 Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc1.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ioodvbdlimc1
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioodvbdlimc1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ioodvbdlimc1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6 ioodvbdlimc1.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8 ioodvbdlimc1.dmdv . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
10 ioodvbdlimc1.dvbd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
12 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
1312fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1413cbvmptv 4678 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1514rneqi 5273 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1615supeq1i 8236 . . . 4 sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
17 eqid 2610 . . . 4 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
18 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑘))
1918oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / 𝑘)))
2019fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑘))))
2120cbvmptv 4678 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑘))))
2219cbvmptv 4678 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑘)))
23 eqid 2610 . . . 4 if(((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) = if(((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
24 biid 250 . . . 4 (((((((𝜑𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))‘𝑘) − (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑘)) ↔ ((((((𝜑𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))‘𝑘) − (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑘)))
252, 4, 5, 7, 9, 11, 16, 17, 21, 22, 23, 24ioodvbdlimc1lem2 38822 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
26 ne0i 3880 . . 3 ((lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))) ∈ (𝐹 lim 𝐴) → (𝐹 lim 𝐴) ≠ ∅)
2725, 26syl 17 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (𝐹 lim 𝐴) ≠ ∅)
28 ax-resscn 9872 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
306, 29fssd 5970 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
32 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
331rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
353rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
37 ioo0 12071 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
3834, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
3932, 38mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
4039feq2d 5944 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ↔ 𝐹:∅⟶ℂ))
4131, 40mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐹:∅⟶ℂ)
421recnd 9947 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4441, 43limcdm0 38685 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐹 lim 𝐴) = ℂ)
45 0cn 9911 . . . . 5 0 ∈ ℂ
4645ne0ii 3882 . . . 4 ℂ ≠ ∅
4746a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ℂ ≠ ∅)
4844, 47eqnetrd 2849 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐹 lim 𝐴) ≠ ∅)
4927, 48, 1, 3ltlecasei 10024 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  ⌊cfl 12453  abscabs 13822  lim supclsp 14049   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fourierdlem94  39093  fourierdlem113  39112
 Copyright terms: Public domain W3C validator