Theorem infmremnf 12044

Description: The infimum of the reals is minus infinity. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmremnf	⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem infmremnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltxrnmnf 12043	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥)
2		xrltso 11850	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → < Or ℝ*)
4		mnfxr 9975	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
6		rexr 9964	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		nltmnf 11839	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ 𝑦 < -∞)
10		breq2 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑦))
11		breq2 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
12	11	rexbidv 3034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
13	10, 12	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
14	13	rspcv 3278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
15	14	com23 84	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
16	15	imp 444	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
17	16	impcom 445	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)
18	3, 5, 9, 17	eqinfd 8274	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞)
19	1, 18	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583   Or wor 4958  infcinf 8230  ℝcr 9814  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by: (None)