Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indispcon 30470
 Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispcon {∅, 𝐴} ∈ PCon

Proof of Theorem indispcon
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 20616 . 2 {∅, 𝐴} ∈ Top
2 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥 {∅, 𝐴})
3 0ex 4718 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
4 n0i 3879 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 {∅, 𝐴} → ¬ {∅, 𝐴} = ∅)
5 prprc2 4244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
65unieqd 4382 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
73unisn 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15 {∅} = ∅
86, 7syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = ∅)
94, 8nsyl2 141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11 uniprg 4386 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
123, 10, 11sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13 uncom 3719 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14 un0 3919 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
1513, 14eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
1612, 15syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = 𝐴)
172, 16eleqtrd 2690 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥𝐴)
18 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦 {∅, 𝐴})
1918, 16eleqtrd 2690 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦𝐴)
2017, 19ifcld 4081 . . . . . . . 8 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
22 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
2321, 22fmptd 6292 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
24 ovex 6577 . . . . . . 7 (0[,]1) ∈ V
25 elmapg 7757 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴𝑚 (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2610, 24, 25sylancl 693 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴𝑚 (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2723, 26mpbird 246 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴𝑚 (0[,]1)))
28 iitopon 22490 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
29 cnindis 20906 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴𝑚 (0[,]1)))
3028, 10, 29sylancr 694 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴𝑚 (0[,]1)))
3127, 30eleqtrrd 2691 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
32 0elunit 12161 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
33 iftrue 4042 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
34 vex 3176 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3533, 22, 34fvmpt 6191 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
3632, 35mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37 1elunit 12162 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
38 ax-1ne0 9884 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
39 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
4038, 39mpbiri 247 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41 ifnefalse 4048 . . . . . . 7 (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43 vex 3176 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
4442, 22, 43fvmpt 6191 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
4537, 44mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
4746eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
4948eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
5047, 49anbi12d 743 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
5150rspcev 3282 . . . 4 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5231, 36, 45, 51syl12anc 1316 . . 3 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5352rgen2a 2960 . 2 𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54 eqid 2610 . . 3 {∅, 𝐴} = {∅, 𝐴}
5554ispcon 30459 . 2 ({∅, 𝐴} ∈ PCon ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
561, 53, 55mpbir2an 957 1 {∅, 𝐴} ∈ PCon
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486  PConcpcon 30455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-ii 22488  df-pcon 30457 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator