Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imasgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasgim 36688
 Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgim.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasgim.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasgim.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
imasgim (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 eqid 2610 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2610 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5 imasgim.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 imasgim.u . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasgim.v . . . . 5 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
8 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
9 imasgim.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 f1ofo 6057 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
129f1ocpbl 16008 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g𝑅)𝑑))))
13 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
146, 7, 8, 11, 12, 5, 13imasgrp 17354 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑈)))
1514simpld 474 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
166, 7, 11, 5imasbas 15995 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
17 f1oeq3 6042 . . . . . . 7 (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈)))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈)))
199, 18mpbid 221 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈))
20 f1oeq2 6041 . . . . . 6 (𝑉 = (Base‘𝑅) → (𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
2219, 21mpbid 221 . . . 4 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
23 f1of 6050 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
257eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎𝑉𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
267eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏𝑉𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
2725, 26anbi12d 743 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
2811, 12, 6, 7, 5, 3, 4imasaddval 16015 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2928eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)))
30293expib 1260 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏))))
3127, 30sylbird 249 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏))))
3231imp 444 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)))
331, 2, 3, 4, 5, 15, 24, 32isghmd 17492 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
341, 2isgim 17527 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
3533, 22, 34sylanbrc 695 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   “s cimas 15987  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480   GrpIso cgim 17522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-imas 15991  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-gim 17524 This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  36690
 Copyright terms: Public domain W3C validator