MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1omet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1omet 21991
Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1oxmet.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oxmet.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1omet.m (𝜑𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasf1omet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1omet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1oxmet.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 imasf1oxmet.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasf1oxmet.e . . 3 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
6 imasf1oxmet.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑈)
7 imasf1omet.m . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
8 metxmet 21949 . . . 4 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9imasf1oxmet 21990 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
11 f1ofo 6057 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
123, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
13 eqid 2610 . . . 4 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
141, 2, 12, 4, 13, 6imasdsfn 15997 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
151adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
162adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
173adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
184adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑅𝑍)
199adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
20 simprl 790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
21 simprr 792 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
2215, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21imasdsf1o 21989 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
23 metcl 21947 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
24233expb 1258 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
257, 24sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
2622, 25eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
2726ralrimivva 2954 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
28 f1ofn 6051 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
293, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
30 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
3130eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ))
3231ralrn 6270 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ))
3329, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ))
34 forn 6031 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
3512, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
3635raleqdv 3121 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3733, 36bitr3d 269 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3837ralbidv 2969 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3927, 38mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ)
40 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷𝑦))
4140eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4241ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4342ralrn 6270 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4429, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4535raleqdv 3121 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4644, 45bitr3d 269 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4739, 46mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
48 ffnov 6662 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4914, 47, 48sylanbrc 695 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
50 ismet2 21948 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
5110, 49, 50sylanbrc 695 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   × cxp 5036  ran crn 5039  cres 5040   Fn wfn 5799  wf 5800  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  Basecbs 15695  distcds 15777  s cimas 15987  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-xrs 15985  df-imas 15991  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-xmet 19560  df-met 19561
This theorem is referenced by:  xpsmet  21997  imasf1oms  22105
  Copyright terms: Public domain W3C validator