Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaelfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelfm 21565
 Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
imaelfm.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
imaelfm (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5396 . . . . 5 (𝐹𝑆) ⊆ ran 𝐹
2 frn 5966 . . . . 5 (𝐹:𝑌𝑋 → ran 𝐹𝑋)
31, 2syl5ss 3579 . . . 4 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
433ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
5 ssid 3587 . . . 4 (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)
6 imaeq2 5381 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
76sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)))
87rspcev 3282 . . . 4 ((𝑆𝐿 ∧ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
95, 8mpan2 703 . . 3 (𝑆𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
104, 9anim12i 588 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆)))
11 imaelfm.l . . . 4 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
1211elfm2 21562 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
1312adantr 480 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
1410, 13mpbird 246 1 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  fBascfbas 19555  filGencfg 19556   FilMap cfm 21547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fm 21552 This theorem is referenced by:  rnelfm  21567  fmfnfmlem2  21569  fmfnfmlem4  21571  fmfnfm  21572  fmco  21575  isfcf  21648  cnextcn  21681
 Copyright terms: Public domain W3C validator