Theorem idahom 16533

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idahom.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idahom	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 16531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7		idahom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
8		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 16166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 16507	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
11	6, 10	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Hom chom 15779  Catccat 16148  Idccid 16149  Hom_achoma 16496  Id_acida 16526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homa 16499  df-ida 16528

This theorem is referenced by:  idadm  16534  idacd  16535  idaf  16536  arwlid  16545  arwrid  16546