Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrn 32385
Description: A class abstraction which is an element of the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrn ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrn
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoreval 32377 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
2 simpl 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 df-ico 12052 . . . . . 6 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
54ixxf 12056 . . . . 5 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
6 ffun 5961 . . . . 5 ([,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,))
75, 6mp1i 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → Fun [,))
8 rexpssxrxp 9963 . . . . . 6 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
95fdmi 5965 . . . . . 6 dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
108, 9sseqtr4i 3601 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,))
122, 3, 7, 11elovimad 6591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ)))
13 icoreelrn.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
1412, 13syl6eleqr 2699 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝐼)
151, 14eqeltrrd 2689 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  cima 5041  Fun wfun 5798  wf 5800  (class class class)co 6549  cr 9814  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  [,)cico 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052
This theorem is referenced by:  relowlssretop  32387
  Copyright terms: Public domain W3C validator