MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccshftli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshftli 12180
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftli.1 𝐴 ∈ ℝ
iccshftli.2 𝐵 ∈ ℝ
iccshftli.3 𝑅 ∈ ℝ
iccshftli.4 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftli.5 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftli (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftli
StepHypRef Expression
1 iccshftli.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 iccshftli.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
3 iccssre 12126 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 704 . . 3 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
54sseli 3564 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 iccshftli.3 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
7 iccshftli.4 . . . . . 6 (𝐴𝑅) = 𝐶
8 iccshftli.5 . . . . . 6 (𝐵𝑅) = 𝐷
97, 8iccshftl 12179 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
101, 2, 9mpanl12 714 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
116, 10mpan2 703 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
1211biimpd 218 . 2 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
135, 12mpcom 37 1 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  (class class class)co 6549  cr 9814  cmin 10145  [,]cicc 12049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-icc 12053
This theorem is referenced by:  pcoass  22632
  Copyright terms: Public domain W3C validator