Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartltu 39963
 Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartltu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 0zd 11266 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
3 nnz 11276 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 nngt0 10926 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
52, 3, 43jca 1235 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7 fzopred 39945 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
9 0p1e1 11009 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1110oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
1211uneq2d 3729 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
138, 12eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
1413eleq2d 2673 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀))))
15 elun 3715 . . . 4 (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16 elsni 4142 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
17 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
19 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
201, 19iccpartlt 39962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2218, 21eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
2322ex 449 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2416, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
251, 19iccpartiltu 39960 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2726breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2827rspccv 3279 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2925, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3029com12 32 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3124, 30jaoi 393 . . . . 5 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3231com12 32 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3315, 32syl5bi 231 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3414, 33sylbid 229 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3534ralrimiv 2948 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∪ cun 3538  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  RePartciccp 39951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-iccp 39952 This theorem is referenced by:  iccpartleu  39966
 Copyright terms: Public domain W3C validator