Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcani 27306
 Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvaddcani ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem hvaddcani
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)))
2 hvnegdi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
3 hvnegdi.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
4 neg1cn 11001 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
54, 2hvmulcli 27255 . . . . 5 (-1 · 𝐴) ∈ ℋ
62, 3, 5hvadd32i 27295 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐵)
72hvnegidi 27271 . . . . 5 (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0
87oveq1i 6559 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐵) = (0 + 𝐵)
93hvaddid2i 27270 . . . 4 (0 + 𝐵) = 𝐵
106, 8, 93eqtri 2636 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = 𝐵
11 hvaddcan.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℋ
122, 11, 5hvadd32i 27295 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐶)
137oveq1i 6559 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐶) = (0 + 𝐶)
1411hvaddid2i 27270 . . . 4 (0 + 𝐶) = 𝐶
1512, 13, 143eqtri 2636 . . 3 ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)) = 𝐶
161, 10, 153eqtr3g 2667 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
17 oveq2 6557 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
1816, 17impbii 198 1 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816  -cneg 10146   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162  0ℎc0v 27165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-hvsub 27212 This theorem is referenced by:  hvsubaddi  27307  hvaddcan  27311
 Copyright terms: Public domain W3C validator