HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstle 28473
Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstle (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))

Proof of Theorem hstle
StepHypRef Expression
1 hstnmoc 28466 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
21adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
32oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1))
4 hstcl 28460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
5 normcl 27366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
76resqcld 12897 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
98recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10 hstcl 28460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
11 normcl 27366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1312resqcld 12897 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1413adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1514recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16 choccl 27549 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
17 hstcl 28460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
1816, 17sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19 normcl 27366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2120resqcld 12897 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2221adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2322recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
249, 15, 23add12d 10141 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
253, 24eqtr3d 2646 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2625adantrr 749 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ C )
28 ococ 27649 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
2928sseq2d 3596 . . . . . . . . 9 (𝐵C → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
3029biimpar 501 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
3127, 30jca 553 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐴𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32 hstpyth 28472 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
3331, 32sylan2 490 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34 chjcl 27600 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
3516, 34sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
36 hstcl 28460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3735, 36sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3837anassrs 678 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39 normcl 27366 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41 normge0 27367 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
43 hstle1 28469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4435, 43sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4544anassrs 678 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46 1re 9918 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
47 le2sq2 12801 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4846, 47mpanr1 715 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4940, 42, 45, 48syl21anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50 sq1 12820 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
5149, 50syl6breq 4624 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5251adantrr 749 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5333, 52eqbrtrrd 4607 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
548, 22readdcld 9948 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55 leadd2 10376 . . . . . . . 8 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5646, 55mp3an2 1404 . . . . . . 7 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5754, 14, 56syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5857adantrr 749 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5953, 58mpbid 221 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
6026, 59eqbrtrd 4605 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
61 leadd1 10375 . . . . . 6 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6246, 61mp3an3 1405 . . . . 5 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
638, 14, 62syl2anc 691 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6463adantrr 749 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6560, 64mpbird 246 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2))
66 normge0 27367 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
674, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
686, 67jca 553 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
6968adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
70 normge0 27367 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7110, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7212, 71jca 553 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
7372adantlr 747 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
74 le2sq 12800 . . . 4 ((((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))) ∧ ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7569, 73, 74syl2anc 691 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7675adantrr 749 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7765, 76mpbird 246 1 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cle 9954  2c2 10947  cexp 12722  chil 27160  normcno 27164   C cch 27170  cort 27171   chj 27174  CHStateschst 27204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-chj 27553  df-hst 28455
This theorem is referenced by:  hstles  28474
  Copyright terms: Public domain W3C validator