Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodp1 39478
 Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoiprodp1.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3 (𝜑𝑍𝑉)
hoiprodp1.z (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
hoiprodp1.x 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoiprodp1.x . . . 4 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3 hoiprodp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
4 snfi 7923 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6 unfi 8112 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
82, 7syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
10 snidg 4153 . . . . . . 7 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
12 elun2 3743 . . . . . 6 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1413, 2syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
15 ne0i 3880 . . . 4 (𝑍𝑋𝑋 ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
17 hoiprodp1.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
18 hoiprodp1.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
191, 8, 16, 17, 18hoidmvn0val 39474 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2017ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2118ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
22 volicore 39471 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2320, 21, 22syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2423recnd 9947 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
25 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑍))
26 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑍))
2725, 26oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
2827fveq2d 6107 . . . 4 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
2928adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
308, 24, 14, 29fprodsplit1 38660 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
312difeq1i 3686 . . . . . . . 8 (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
33 difun2 4000 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
35 hoiprodp1.z . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
36 difsn 4269 . . . . . . . 8 𝑍𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3832, 34, 373eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3938prodeq1d 14490 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
40 hoiprodp1.g . . . . . . 7 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
4140eqcomi 2619 . . . . . 6 𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺
4241a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4339, 42eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4443oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺))
4517, 14ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ)
4618, 14ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
47 volicore 39471 . . . . . 6 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4948recnd 9947 . . . 4 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℂ)
5017adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
51 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
5251, 2sseqtr4i 3601 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑋
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑌𝑘𝑌)
5452, 53sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑌𝑘𝑋)
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝑘𝑋)
5650, 55ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
5718adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5857, 55ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
5956, 58, 22syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑌) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
603, 59fprodrecl 14522 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
6140, 60syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
6261recnd 9947 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
6349, 62mulcomd 9940 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6444, 63eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6519, 30, 643eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  [,)cico 12048  ∏cprod 14474  volcvol 23039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem4  39488
 Copyright terms: Public domain W3C validator