Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoddii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoddii 28232
 Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 28023 does not require linearity.) (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoddi.1 𝑅 ∈ LinOp
hoddi.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoddi.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hoddii (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))

Proof of Theorem hoddii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoddi.2 . . . . . . 7 𝑆: ℋ⟶ ℋ
21ffvelrni 6266 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
3 hoddi.3 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelrni 6266 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 hoddi.1 . . . . . . 7 𝑅 ∈ LinOp
65lnopsubi 28217 . . . . . 6 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
72, 4, 6syl2anc 691 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
8 hodval 27985 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
91, 3, 8mp3an12 1406 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
109fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)) = (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
115lnopfi 28212 . . . . . . 7 𝑅: ℋ⟶ ℋ
1211, 1hocoi 28007 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑆)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑆𝑥)))
1311, 3hocoi 28007 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇𝑥)))
1412, 13oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
157, 10, 143eqtr4d 2654 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
161, 3hosubcli 28012 . . . . 5 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
1711, 16hocoi 28007 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)))
1811, 1hocofi 28009 . . . . 5 (𝑅𝑆): ℋ⟶ ℋ
1911, 3hocofi 28009 . . . . 5 (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ
20 hodval 27985 . . . . 5 (((𝑅𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
2118, 19, 20mp3an12 1406 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
2215, 17, 213eqtr4d 2654 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥))
2322rgen 2906 . 2 𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥)
2411, 16hocofi 28009 . . 3 (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2518, 19hosubcli 28012 . . 3 ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2624, 25hoeqi 28004 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) ↔ (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇)))
2723, 26mpbi 219 1 (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ℋchil 27160   −ℎ cmv 27166   −op chod 27181  LinOpclo 27188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-hvsub 27212  df-hodif 27975  df-lnop 28084 This theorem is referenced by:  hoddi  28233  unierri  28347
 Copyright terms: Public domain W3C validator