HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ho2times 28062
Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho2times (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Proof of Theorem ho2times
StepHypRef Expression
1 df-2 10956 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 6559 . . 3 (2 ·op 𝑇) = ((1 + 1) ·op 𝑇)
3 ax-1cn 9873 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 hoadddir 28047 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
53, 3, 4mp3an12 1406 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
62, 5syl5eq 2656 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
7 hoadddi 28046 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
83, 7mp3an1 1403 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
98anidms 675 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
10 hoaddcl 28001 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
1110anidms 675 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
12 homulid2 28043 . . 3 ((𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
1311, 12syl 17 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
146, 9, 133eqtr2d 2650 1 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wf 5800  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  chil 27160   +op chos 27179   ·op chot 27180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-1cn 9873  ax-addcl 9875  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-2 10956  df-hosum 27973  df-homul 27974
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  28388
  Copyright terms: Public domain W3C validator