Theorem hmphi 21390

Description: If there is a homeomorphism between spaces, then the spaces are homeomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphi	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≃ 𝐾)

Proof of Theorem hmphi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3880	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		hmph 21389	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 223	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≃ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Homeochmeo 21366   ≃ chmph 21367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-hmeo 21368  df-hmph 21369

This theorem is referenced by:  hmphref  21394  hmphsym  21395  hmphtr  21396  indishmph  21411  ptcmpfi  21426  t0kq  21431  kqhmph  21432  xrhmph  22554  xrge0hmph  29306  reheibor  32808