HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopadj2 28184
Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopadj2 (𝑇 ∈ dom adj → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adj𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem hmopadj2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopadj 28182 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → (adj𝑇) = 𝑇)
2 dmadjop 28131 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
32adantr 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 adj1 28176 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
543expb 1258 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
65adantlr 747 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
7 fveq1 6102 . . . . . . . 8 ((adj𝑇) = 𝑇 → ((adj𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
87oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((adj𝑇) = 𝑇 → (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
98ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
106, 9eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
1110ralrimivva 2954 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
12 elhmop 28116 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
133, 11, 12sylanbrc 695 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ HrmOp)
1413ex 449 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ((adj𝑇) = 𝑇𝑇 ∈ HrmOp))
151, 14impbid2 215 1 (𝑇 ∈ dom adj → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adj𝑇) = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  dom cdm 5038  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  chil 27160   ·ih csp 27163  HrmOpcho 27191  adjcado 27196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-hvsub 27212  df-hmop 28087  df-adjh 28092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator