Theorem hlim0 27476

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim0	⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3	1, 2	hhxmet 27416	. . . 4 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	4	mopntopon 22054	. . . 4 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
7		ax-hv0cl 27244	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
8		1z 11284	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		nnuz 11599	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	9	lmconst 20875	. . 3 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ)
11	6, 7, 8, 10	mp3an 1416	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ
12	7	fconst6 6008	. . 3 ⊢ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ
13		ax-hilex 27240	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
14		nnex 10903	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
15	13, 14	elmap 7772	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ)
16	12, 15	mpbir 220	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)
17	1, 2, 4	hhlm 27440	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
18	17	breqi 4589	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))0ℎ)
19	7	elexi 3186	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ V
20	19	brres 5323	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ ∧ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
21	18, 20	bitri 263	. 2 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ ∧ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
22	11, 16, 21	mpbir2an 957	1 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  1c1 9816  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  TopOnctopon 20518  ⇝_𝑡clm 20840  IndMetcims 26830   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161   ·_ℎ csm 27162  norm_ℎcno 27164  0_ℎc0v 27165   ⇝_𝑣 chli 27168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-lm 20843  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-hlim 27213

This theorem is referenced by:  hsn0elch  27489