Theorem hilid 27402

Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilid	⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Proof of Theorem hilid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 27401	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 26785	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 27241	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 5965	. . . . 5 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 26759	. . . 4 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
8	6, 7	grpoidval 26751	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
10		hvaddid2 27264	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 2906	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥
12		ax-hv0cl 27244	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
13	6	grpoideu 26747	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16	15	eqeq1d 2612	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 6533	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ))
19	12, 14, 18	mp2an 704	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ)
20	11, 19	mpbi 219	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ
21	9, 20	eqtri 2632	1 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898   × cxp 5036  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  GrpOpcgr 26727  GIdcgi 26728  AbelOpcablo 26782   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161  0_ℎc0v 27165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ablo 26783  df-hvsub 27212

This theorem is referenced by:  hhnv  27406  hh0v  27409  hhssabloilem  27502